1999年9月21日

The Economic Theory of WTP and WTA

W. Michael Hanemann

報告者:栗山 浩一(早稲田大学)

本章の内容

   WTPとWTAを経済理論を用いて分析し、WTP/WTAをめぐるこれまでの批判を検証

・効用モデルによるWTPとWTAの定義

仮想価格を用いた分析

所得弾力性

WTP/WTAの差異

獲得/損失の差異

損失回避などその他の原因

不確実性

代替効果

 

3.2 効用モデル

効用関数 u(x,q) 

xは私的財ベクトル、qは非市場財の環境アメニティ(スカラーまたはベクトル)

uはxとqに関して非減少関数、xに関して準凹(quasi-concave)関数

 

消費者の効用最大化問題

 subject to            (3.1)

この解として通常の需要関数と間接効用関数が得られる。Envelope theoremより、間接効用関数はpとyに関して非減少関数である。

 一方の支出最小化問題は

 subject to                  (3.2)

この解として補償需要関数と支出関数が得られる。ここでおよびが成立する。これより

 

                       (3.3a)

                           (3.3b)

したがって         (3.3c)

 

(3.3a)より支出関数はqについて非減少関数()。

  LEMMA 3.1

u(x,q)が(x,q)に関して準凹であれば、m(p,q,u)はqに関して凸、v(p,q,y)は(q,y)に関して準凹

 

envelope theoremより、また、したがってvは(q,y)に関して準凹。準凹関数の無差別曲線は凸関数となるが、m(p,q,u)はv(p,q,y)=uをyについて解いたものなので、qに関して凸となる。

 

MalerはHicks測度との類推からq0からq1への変化に対する補償変分(C)と等価変分(E)を以下のように定義した。

                   (3.4a)

                   (3.4b)

ここで、より、

もしならば、この変化は改善でありCはこの変化を実現するためのWTP、Eはこの変化を中止することに対するWTAとなる。逆の場合は、この変化は改悪であり、-Eはこの変化を阻止するためのWTP、-Cはこの変化を受け入れるためのWTAとなる。どちらの場合もWTA-WTP=E-Cが成立する。支出関数を用いて定義すると

                      (3.5a)

                       (3.5b)

 

Hurwicz and Wzawaの所得補償関数を用いれば、

                                             (3.6a)

                                             (3.6a)

 


を用いるとCとEは以下のように表現できる

y

 
                           (3.4a)

y"

 
                          (3.4b)

同様にを用いると

                         (3.4a)

q1

 

q0

 
                           (3.4b)

 

したがって、

                                     (3.7b)

さらにCとEには次の関係が成立する

                                (3.8b)

                                (3.8b)

CとEの関係を用いれば、WTPのみたずねるだけでWTAを間接的に推定することが可能となる。たとえば、

                                  (3.9)

ただし、αはqに関する増加関数であるとする。このとき

                                         (3.9a)

                                          (3.9b)

Loomis et al. (1990)はこの方法で間接的にWTAを推定したところ、WTAはWTPより15-20%大きいという結果が得られた。

 

3.3 qに関する弾力性

 

とすると以下の命題が成立する。

Proposition 3.1

u(x,q)が(x,q)に関して準凹のとき、

(1)    Cはq1と△に関して凹

(2)    Cはq0に関して準凸

(3)    Eはq1と△に関して準凹

(4)    Eはq0に関して凸

(1)の証明 u(x,q)が(x,q)に関して準凹であればLemma3.1よりm(p,q,u)はqに関して凸。このときであるからCはq1に関して凹。また、であるから、△に関しても凹。

(2)の証明 より、したがってq0に関して準凸。

 

 

 

 

 

 

 

 

 


凹性はqに関するWTPやWTAの弾力性と関係するが、準凹性は関係しないので、この違いは重要。

 

Star-shapedと弾力性

λx

 

x

 
連続かつ非負の関数f(x)はのλに関して増加、かつf(0)=0のとき、star-shapedと呼ばれる。このとき、f(x)のxに関する弾力性は1より大きい。f(x)が凸、非負、f(0)=0のときf(x)はstar-shapedである。同様に、f(x)が凹、非負、f(0)=0のときf(x)はlower star-shapedと呼ばれ、のλに関して減少し、f(x)のxに関する弾力性は1より小さい。

f(x)がstar-shapedのとき、、したがってfのxに関する弾力性は1より大きい。また、とすると、fが凸関数の場合、が成立し、またであるからとなりはλに関して増加。

 

  Proposition 3.2

u(x,q)が(x,q)に関して準凹のとき、Cの△に関する弾力性は1より小さい。

 

証明 C(0)=0、C(△)は凹で非負であるから、はlower star-shapedであり、弾力性は1より小さい。■

 

CとEがq1やq0とは独立でq1-q0に依存するケース

                             (3.10)

                      (3.10a)

                      (3.10b)

したがってq1-q0に依存

 

一般化

V(x,z)、xはスカラー、zはスカラーまたはベクトル、Vはxに関して増加。x=M(u,z)はu=V(x,z)の逆関数。

  LEMMA3.2

M(u,z)がzに関して凸(凹)⇔V(x,z)が(x,z)に関して準凸(準凹)

 

 証明はLEMMA3.1と同じ

 

xをzに対するニュメレールとする。x固定でzはz0→z1に変化。

、ただし                   (3.11a)

、ただし                  (3.11b)

このとき。Cz>0ならばこの変化は改善であり、Czは変化を実現するためのWTP、Ezは変化の中止に対するWTA。Cz<0ならばこの変化は改悪であり、-Ezは変化を阻止するためのWTP、-Czは変化を受け入れるためのWTA。どちらの場合も、Ez-Cz=WTA-WTP

 

PROPOSITION 3.3

(1)     V(x,z)が(x,z)に関して準凹のとき、Czはz1に関して凹、z0に関して準凸、Ezはz1に関して準凹、z0に関して凸。V(x,z)がzの増加関数のとき、Czは△=z1-z0に関して凹、Czの△に対する弾力性は1より小さい。V(x,z)がzの減少関数のとき、Ezは△=z1-z0に関して凸、Ezの△に対する弾力性は1より大きい。

(2)     V(x,z)が(x,z)に関して準凸のとき、Czはz1に関して凸、z0に関して準凹、Ezはz1に関して準凸、z0に関して凹。V(x,z)がzの増加関数のとき、Czは△=z1-z0に関して凸、Czの△に対する弾力性は1より大きい。V(x,z)がzの減少関数のとき、Ezは△=z1-z0に関して凹、Ezの△に対する弾力性は1より小さい。

 

Vを効用関数と見なせばCzとEzは補償余剰および等価余剰となる。Vを間接効用関数と見なせば、補償変分と等価変分となる。V(p,y)として価格変化と見なせば、通常の価格変化に対する補償変分・等価変分となる。

 

3.4  厚生測度の別の定式化

 

qの仮想価格をπとし、qの水準を自由に選択できると想定する。このとき効用最大化問題は

 subject to                     (13.3a)

この解は通常の需要関数。uが(x,q)に関して準凹ならばは通常の需要関数と同じ特性を持つ。間接効用関数は。支出最小化問題は

 subject to                      (3.13b)

この解は補償需要関数。支出関数は

 

間接効用関数には以下の関係がある

                             (3.14a)

                                                 (3.14b)

 

同様に支出関数の関係は以下のとおり

                            (3.14c)

                                                (3.14d)

 

qの補償需要関数の逆関数→逆補償需要関数

qの非補償需要関数の逆関数→逆非補償需要関数

両者には以下の関係がある。

                                      (3.15a)

                                     (3.15b)

シェパードのレンマより、したがって(3.14c)を微分すると

                                                            (3.16)

つまり仮想価格はMWTP / MWTAとみることができる。

のときに上級財、のときに下級財と呼ぶ。(3.15a)(3.16)から

ここでvy>0であるから

             

これより、qが上級財となるのはまたはのときのみで、下級財となるのはまたはのときのみ。(3.16)(3.5a)(3.5b)から

                                                     (3.17a)

                                                      (3.17b)

 

3.5. WTPとWTAの所得弾力性

 

(3.17a)を微分すると

                                                                       (3.18a)

ここでとすると、

                                           (3.18b)

mqu=0のとき、Cy=Ey=0。このためには、以下が成立しなければならない。

                                                    (3.19a)

                                                     (3.19b)

                                                      (3.19c)

 

(1)                    Cの所得弾力性

              (2)      qの需要関数の所得弾力性

(3)       qの需要価格の所得弾力性(Randall & Stollの所得の価格柔軟性)

(3)ECの誤差の上限を示すために使われる。

、ただしである。したがって、WTP/WTAの差を調べるには、(3)の大きさを調べることが重要。

 これまでのCV研究では(1)-(3)が混同されることがあった。McFadden & LeonardlnWTPlnyに回帰した値(1)1未満であり、環境保護が上級財であることに反するとしてCVを批判。この批判が成立するためには、が必要。

 

 

PROPOSITION 3.4

以下はすべて等しい。間接効用関数が(3.19b)

効用関数が(3.19b)のとき(3.19c)より(1)=0より(3)=0より(2)=0

しかし、0以外の場合は、一般にと異なる。これらの弾力性の関係はかなり複雑である。

(3.17a)より

Mean Value Theoremより

となるが存在する。

q1

 

q0

 

q

 

π(q)

 
同様に

となるが存在する。このとき

                                (3.20)

 


ただし、で評価したもので、muq<0のとき、@は1より小さい。u(x,q)qについて準凹のとき、ならばAは1より小さく、ならば1より大きい。しかし、のどちらが大きいかは一般にはわからない。

 Hanemann (1991)が定数のとき効用関数は次式のとおりになることを示した。

                                                 (3.21a)

ただし、Gqに関して増加、1以外の定数。このとき、

                                                           (3.21b)

                                                          (3.21b)

ただし、である。これを微分すると、

                                                                                       (3.21d)

                                                                                       (3.21d)

ただし、c=C/y, e=E/yである。これより、が一定であっても、cに依存するので、(p,q,y)によって変化する。また、のときはのときはcが小さいときは

C=0.001

 

 

 

 

 

 

0.05

0.5

1.5

5

 

0.0500224

0.500125

1.499625

4.99001

C=0.1

 

 

 

 

 

 

0.05

0.5

1.5

5

 

0.052542

0.513167

1.46185

4.0951

 

PROPOSITION 3.5

以下はすべて等しい。間接効用関数が(3.22a)

 

のとき、                                              (3.22a)

これより、

                                                              (3.22b)

                                                               (3.22c)

このとき、であれば。この逆も成立する。(3.4a)を微分すると、

                                                     (3.23)

これが1に等しいとして解くと、(3.22a)が得られる。■

 

の場合は少し異なる。の一階の条件をもとめると

                                                    (3.24a) (ロアの恒等式に相当)

これを解くと需要関数が得られる。これを所得で微分して需要の所得弾力性が得られる。

                                                    (3.24b)

(3.23)と比較すると、両者の違いがあることがわかる。

 Hanmann (1991)は次式が成立することを示した。

                                                                                 (3.25)

ただし、σはqxAllen-Uzawaの代替の弾力性である。完全代替のときはσ=0、まったく代替がないときはσ=∞。したがって、ηπはηとは異なり、小さな値から非常に大きな値までとりうる。

(3.25)式の直観的な解釈

 

 

 


 需要の所得弾力性ηが一定の場合、間接効用関数は

                                             (3.26)

しかし、このclosed-formはない。

 ηCが一定の場合、(3.23)を積分すると、

                                                (3.27)

ただし、である。。ここで、

であることに注意すると、

                                                               3.27b)

したがって、πは(p,π, q)に依存、一定ではない。

 

例外として、ηq1のときがある。このとき、。もしσ=1ならば、の場合、                        3.28

このときが成立する。

ηq1だが、の場合、効用関数は

                                 3.29

このとき、ηq1、ηπ1/σが成立。これは(3.24a)の特殊ケースとして見ることができる。すると、(2.31e,d)より、

                                                                                      (3.29b)

                                                                        (3.29c)

したがって、ηCとηEは一定ではないが、ηπと近い値となる。つまり

 以上のことから、効用関数に何らかの仮定を置かないかぎり、ηCとηqを近似することはできない。したがって、McFadden & LeonardCV批判はηCとηqを混同しており、彼らの主張は正しくない。

 

3.6 WTPとWTAの差異

 

Willigは通常の価格変化における補償変分と等価変分の差異の上下限を、需要の所得弾力性を用いて示した。Randall & Stollはこれを拡張し、qの変化のWTPWTAの差異の上下限を需要価格の所得弾力性ηπを用いて示した。Hanemannはηπには所得効果だけではなく代替効果も含まれることを示した。以下では(EC)WTP/WTAの差異と呼ぶことにする。

 ある財の価格が変化したときのCpEpを用いてWTP/WTAの差異を示すと

                                                       (3.30a)

となる。したがって、

                                                                      (3.30b)

                                                                 (3.31)

ここで、つまりと仮定すると、

                                                     (3.32)

                                                     (3.33)

つまり、価格変化の場合は、mp1uWTP/WTAの差異の符号を決定する。ここで

                                 (3.34)

mu>0であるから、

                      (3.32)

したがって、価格変化の場合は、WTP/WTAの差異は所得効果に依存する。上級財ならばWTA>WTP、下級財ならばWTA<WTP

 

 

 環境変化の場合、

                    (3.35a)

となる。したがって、

                               (3.35b)

ここでだとすると、

                     (3.36)

 

一般化して、すると以下の命題が得られる。

PROPOSITION 3.6 (WTP/WTAの差異)

1. CzとEzが非負ならば

2. CzとEzが非正ならば

3. Vがxとzの両方に非減少ならば

             

4. Vがxに対して非減少、zに対して非増加ならば

             

5.

 

(証明)

C(x+E)

 

x+E

 

E

 

x

 

C

 

E(x-C)

 
したがって、

x-C

 

z1

 

z0

 
の場合、より(1)が成立。同様に(2)も成立。

より(3)(4)の最初の式が成立。

よりVxが非負であることに注目すると(3)(4)の最後の式も成立。さらに、であるから(5)も成立。■

 命題3.6Vに対して微分可能性以外の仮定は用いていない。準凹性の仮定すらない。

(3.36)より、これまでWTP/WTAの差異は所得効果によって生じると見られることが多かった。価格変化のときは(3.34)のようにmpuによってWTP/WTAの差異が決まり、したがって所得効果によって決まる。しかし、環境変化の場合はmquによって決まるが、これは所得効果のみではない。

を微分すると、

                                                                                                 (3.39)

となり、価格変化のときに比べると分母にgπが追加されている。分子は所得効果に相当。

                                        (3.40)

Hanemannは弾力性の形式を用いて次式を導いた。

                                                                             (3.41)

ただし、σはqxAllen-Uzawaの代替の弾力性、。つまり(3.39)の分母はqの代替効果に相当するものである。

 また、の両辺をqで微分して整理すると、

                                                                      (3.42)

となる。したがって、支出関数の曲がり方(=無差別曲線の曲がり方)によってWTP/WTAの差が影響を受ける。所得効果が小さく、qの予算シェアが小さい場合でも、代替の弾力性が小さい(無差別曲線の曲がり方が強い)ときはWTPWTAの差が大きくなる。

 

WTP/WTAの差の原因

価格変化

pu

所得効果のみ

数量変化

qu

所得効果+代替効果

 

WTP/WTAの差が生じる原因を図を使って示したのがFig3.1-3.6である。これらの図から、WTP/WTAの差の原因には、次の二つの要因がある。

(1)無差別曲線の曲がり方

        Fig3.2参照。代替効果に関係する

(2)無差別曲線の間隔

              Fig3.1参照。所得効果に関係する。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Fig3.1 所得効果による乖離                                         Fig3.2 代替の弾力性が低い場合

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Fig3.3 上級財の場合                                                   Fig3.4 下級財の場合

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Fig3.5 準凸選好                                                   Fig3.6 準凸選好で下級財

 

無差別曲線が平行な直線の場合、WTA/WTPの乖離は存在しない。これは、間接効用関数が(3.19b)のときと同値。これは間接効用関数のyとψ(p,q)が完全代替である。

                                                     (3.19b)

これは効用関数のxとqが完全代替とは異なるかもしれない。たとえば、

              1はqと完全代替                                        (3.43a)

              はqと完全代替                             (3.43b)

どちらの場合も、(3.39)の分母は無限大(σ=∞)、mqu=0となる。これに対して、

                           (3.44)

のとき、qとxは完全代替ではないがmqu=0となる。したがて、yとqの完全代替はWTP/WTA乖離の必要十分条件であるが、xとqの完全代替は十分条件ではあっても必要条件ではない。

 

獲得と損失の差異

 

損失を獲得よりも重視する傾向が一般に見られる。この現象は、損失回避(loss aversion)、賦与効果(endowment effect)、現状バイアス(status-quo bias)などと呼ばれている。

q0−△

 

y

 

q0+

 

q0

 
qの獲得を、損失をとする。このときの効用はから獲得の場合は、損失の場合はへと変化する。獲得のときの厚生変化をC+、E+とし、損失のときの厚生変化をC-、E-とする。このとき、WTP+=C+; WTA+=E+; WTP-=−E-; WTA-=−C-の関係がある。

 

これまでは[WTA+WTP+]または[WTA-WTP-]を見てきたが、ここでは損失のWTAと獲得のWTPの差異[WTA-WTP+]について検討する。

             

PROPOSITION 3.7

     がqについて凸

が(p,y)について準凹

 

mがqについて凸

WTP/WTAの差異のときは準凹性は必要なかったが、獲得/損失の場合は必要。

PROPOSITION 3.8

がzについて凸(凹)

が(x,z)について準凹(準凸)

 

qがスカラーの場合はとなる。つまり

              WTP/WTAのときはmqu 所得効果+代替効果

              獲得/損失のときはmqq 代替効果のみ

Fig3.7も参照のこと。獲得/損失の乖離が生じないための必要十分条件はmqq=0。これは以下と同値である。

                                                   (3.47)

このとき、

             

             

となる。qから独立で、△のみで決まる。このときWTP/WTAの差はとなり、これは正負どちらもとりうる。つまり、損失/獲得の差がない場合でもWTP/WTAの差が生じることがある(代替効果と所得効果の違いが原因)。

 逆に、(3.19b)のとき、WTP/WTAの差は生じないが、獲得/損失の差は

             

となり、正負どちらもとりうる。

 もしも(3.47)のψがuと独立の場合、mqu=mqq=0となり、WTP/WTAの差も獲得/損失の差も生じない。これは

                                                                    (3.48a)

のときである。このとき、

                                                (3.48b)

 次に、WTP/WTAの乖離と獲得/損失の乖離の大小関係を検討する。獲得/損失の方がWTP/WTAの乖離より大きくなるのは

                              (3.49a)

同様に、

                (3.49a)

となる。それぞれの解釈についてFig3.9Fig3.10を参照のこと。

 

 

 

PROPOSITION 3.9

獲得/損失の乖離がWTP/WTAの乖離より大きくなるための十分条件は効用関数が以下のときである。

、ただしψはqの凹関数、                                   (3.50)

または

、ただしψはqの対数凹関数                                (3.51)

 

PROPOSITION 3.10

効用モデルV(x,z)において獲得/損失の乖離がWTP/WTAの乖離より大きくなるための十分条件は効用関数が以下のときである。

、ただしψはqの凹関数、                                 (3.58a)

または

、ただしψはqの対数凹関数                              (3.58b)

 

[証明の手順]

(3.50)のTとφの逆関数をとって支出関数を計算する。支出関数を(3.49)に代入して整理すると、ψの凹性の条件に帰着する。■

 

3.8 損失回避とWTP/WTA乖離に関するその他の説

 

WTP/WTAの乖離について代替効果と所得効果によって説明できることを示した。しかし、他にも様々な説がある。代表的なものは、(1)取引費用(transaction cost)(2)損失回避(loss aversion)あるいは賦与効果(endowment effects)(3)不確実性、(4)アンケート調査時の影響である。

 

アンケート調査時の影響

自由回答形式のときにWTP/WTA乖離が生じる。自由回答形式では「最大WTP」または「最小WTA」をたずねるが、最大/最小ではなくて「これで十分だ」と感じる金額を答えるかもしれない。このとき、WTPは過小評価、WTAは過大評価となって乖離が生じる。

WTPのときコスト以上の金額は払いたくないと回答者が考えて、コストとして妥当な金額を答えるかもしれない。あるいは、WTAのときは、相手が出せる金額を考えるかもしれない。この場合、ある金額でWTP分布やWTA分布が切断されてしまう。これも乖離の原因となる。

 

取引費用

物を失うときは、それに代替する財を探す必要があり、その費用を考えるかもしれない。

 

損失回避・賦与効果

Fig3.11参照。

(1) 基準点(reference point) 現時点からの相対的な変化によって効用が決まる。

(2) 損失回避 人は何かを獲得するよりも失うことを重視する。

(3) 感度幻滅(diminishing sensitivity) 獲得や損失の限界価値は参照点からの距離に応じて減少する

Tversky & Kahnemanは以下の式を用いて説明した。

Hanemannはφが線形関数の場合を検討した。

                            (3.59)

ただし、T’>0、

               かつ 

               かつ 

そして。このときFig3.12のとおりとなる。

結局、Tversky & Kahnemannの損失回避は、代替効果+所得効果によるWTP/WTAの乖離、および準凹性による獲得/損失の乖離によって説明されうる。

 

3.9 不確実性

PROPOSITION 3.11

リスク回避またはリスク中立であれば、WTA>WTPが成立。

 

証明は省略

 

3.10 WTPとWTAの代替効果

q1とq2が代替財または補完財のときに、q1やq2が増加(低下)したときのWTP/WTAへの影響。結果は、Table3.1に整理されている。

 

3.11 結論

·           この章ではWTP/WTAの差異について経済理論的な考察を行った。ここでは個人の選好が不変であると仮定して分析を行った。もちろん、現実世界では選好が変化する可能性は否定できないが、WTP/WTAの差異のうち、ある程度は選好不変によっても生じることがある。

·           WTP/WTAの差については二種類のタイプがある。一つは、真のWTPと表明されたWTPとが異なる結果生じるもので、不確実性、戦略的行動、回答者の満足などが含まれる。もう一つは真のWTPと真のWTAも異なるケースである。取引費用や代替財の存在が含まれる。

·           WTP/WTAの差の原因には代替効果と所得効果がある。所得効果が小さく、qの予算シェアが小さい場合であっても、qと市場財の代替の弾力性が十分に小さい場合は、WTP/WTAの乖離は生じる。

 

 

 

 

 

本文のミス

P48 L23 where  denotes the inverse of   

 

P50 L24  (13.3b)  (3.13b)

 

P54 L25 (3.23)式 

 

P59 L1    (3.3b)  (3.36)  

 

P59 L9 Proposition 3.6

 

P70 L3 (3.48b)式

 

P70 L13 (3.49a)式

 

P71 Fig3.10

              y+WTA+    y+WTA-

              y+WTA-    y+WTA+